Уравнения и неравенства — задания ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{\text{7π}}{\text{2}}\text{;}\text{5π}\right]}$.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере ${\displaystyle S}$ млн рублей, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ целое число. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение ${\displaystyle S}$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_3\left(9x\right)\cdot {\log }_4\left(64x\right)}{5x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(x+\ln (x+a)\right)}^2={\left(x-\ln (x+a)\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle [0;1]}$.

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{{\log }_2^2(\sin x)+{\log }_2(\sin x)}{2\cos x+\sqrt{3}}=0}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[0;\frac{\text{3π}}{2}\right]}$.

Найдите все значения а, для каждого из которых уравнение ${\displaystyle 4^x+(a-6)2^x=(2+3\left|a\right|)2^x+(a-6)(3\left|a\right|+2)}$ имеет единственное решение.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, для каждого из которых уравнение ${\displaystyle {25}^x-(a+6)5^x=\left(5+3\left|a\right|\right)5^x-(a+6)\left(3\left|a\right|+5\right)}$ имеет единственное решение.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{16}\left(x+5\right)+{\log }_{\left(x^2+10x+25\right)}2\ge \frac{3}{4}.}$

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года
в размере ${\displaystyle S}$ млн рублей, где ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ целое число. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

${\displaystyle —}$ в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии
со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение ${\displaystyle S}$, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

Найдите все значения параметра ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение ${\displaystyle \sqrt{x^4-4x^2+9a^2}=x^2+2x-3a}$ имеет ровно 3 решения.

а) Решите уравнение ${\displaystyle 8\cdot {16}^{{\sin }^{2}x}-2\cdot 4^{\cos 2x}=63}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{7\text{π}}{2};5\text{π}\right]}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+a+1-\text{tg}x\right)}^2={\left(2x+a-1+\text{tg}x\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle \left[0;\text{π}\right]}$.

Найдите все значения параметра ${\displaystyle a}$, при каждом из которых уравнение ${\displaystyle \sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a}$ имеет ровно 3 решения.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{49}\left(x+4\right)+{\log }_{\left(x^2+8x+16\right)}\sqrt{7}\le -\frac{3}{4}.}$

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 7 млн рублей.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 6 млн рублей.

а) Решите уравнение ${\displaystyle 4\cdot {16}^{{\sin }^{2}x}-6\cdot 4^{\cos 2x}=29}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right].}$

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}}{\sqrt{7\sin x}}=0}$.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[-\frac{13\text{π}}{2}\text{;}-5\text{π}\right]}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(8x\right)\cdot {\log }_3\left(27x\right)}{x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

а) Решите уравнение ${\displaystyle \frac{{\log }_2^2(\sin x)+{\log }_2(\sin x)}{2\cos x-\sqrt{3}}=0}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{\text{π}}{2};2\text{π}\right]}$.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок
10 лет. Условия возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку ${\displaystyle r}$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,819 млн рублей.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+a+1+\text{tg}x\right)}^2={\left(2x+a-1-\text{tg}x\right)}^2}$

имеет единственное решение на отрезке ${\displaystyle \left[-\frac{\text{π}}{2};\frac{\text{π}}{2}\right]}$.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок
10 лет. Условия его возврата таковы:

${\displaystyle —}$ каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

${\displaystyle —}$ с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку ${\displaystyle r}$, если известно, что последний платёж будет не менее 0,92 млн рублей.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при которых уравнение

${\displaystyle {\left(2x+\ln (x+2a)\right)}^2={\left(2x-\ln (x+2a)\right)}^2}$

имеет единственный корень на отрезке ${\displaystyle [0;1]}$.

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{10}^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50}{5x-x^2-4}\ge 0}$.

Решите неравенство $\frac{2}{3^x+27}\ge \frac{1}{3^x-27}$.

Решите неравенство

а) Решите уравнение

${\displaystyle 8^x-3\cdot 2^{x+2}+2^{5-x}=0}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]}$.

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на три года в размере 6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

$—$ каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;

$—$ с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

$—$ в июле 2029 и 2030 годов долг должен быть на 70 % меньше долга на июль предыдущего года;

$—$ к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 8085 тыс. рублей. Найдите $r.$ 

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(3x+1\right)+{\log }_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge {\log }_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)}$.

а) Решите уравнение

${\displaystyle {16}^{\sin x}\text{}+{16}^{\sin \left(x+\text{π}\right)}=\frac{17}{4}}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ${\displaystyle \left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2^{3x}-2\cdot 4^{x+1}+5\cdot 2^{x+2}-16}{x-1}\ge 0.}$ 

а) Решите уравнение

$\sin 2x+\sqrt{2}\cos \left(x+\pi \right)=0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right].$

Решите неравенство ${\displaystyle 3^{{\log }_3\left(4-x^2\right)}+x^4-10\ge 0.}$ 

Решите неравенство $\frac{4^x\text{}-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^x\text{}-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^x\text{}-8}\le 2^x+5.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5\left(x+3\right)\le {\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)}$.