Задание 672605 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: x>0; знаменатели содержат y=log₈x и y−2=log₈(x64), поэтому y≠0,2, то есть x≠1,64.

Положим y=log₈x. Допустимые значения: y≠0, y≠2. После переноса правой части влево получается (y−1)²y(y−2)≥0.

Вычисления: При y=log₈x левая часть минус правая после общего знаменателя равна y²−2(y−2)−3y(y−2)=(y−1)²y(y−2).

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Квадрат в числителе неотрицателен. Поэтому подходят y<0, y>2 и отдельная точка y=1.

Ответ: (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; ∞).