Задание 6870AA по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргументы первых двух логарифмов положительны всегда. Для третьего: xx+5+7=8x+35x+5>0, откуда x<−5 или x>−358.

Допустимые значения: x∈(−∞; −5) ∪ (−358; ∞). После сравнения аргументов логарифмов получается условие −3x(x+12)x+5≥0.

Вычисления: Сравниваем аргументы логарифмов: 8x²+7x²+x+1−(7+xx+5)=−3x(x+12)(x²+x+1)(x+5). Первый множитель в знаменателе всегда положителен, поэтому знак задаёт выражение −3x(x+12)x+5.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Это разность log₁₁A−log₁₁B≥0, где A=8x²+7x²+x+1, B=7+xx+5. При положительных аргументах и основании 11>1 рационализация даёт A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Метод интервалов с учётом допустимых значений даёт x≤−12 или −358<x≤0. Точка x=−358 исключается: аргумент третьего логарифма в ней равен нулю.

Ответ: (−∞; −12] ∪ (−358; 0].