Задание 831474: Задачи с параметром

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Числитель раскладывается: 9x²−a²=(3x−a)(3x+a). Его корни x=a3 и x=−a3 различны только при a≠0.

Знаменатель равен (x+4)²−a². Для первого корня он обращается в нуль, если a3+4=a или a3+4=−a. Эти равенства дают соответственно a=6 и a=−3.

Для второго корня запрещены равенства −a3+4=a и −a3+4=−a. Получаем a=3 и a=−6. При этих значениях один из двух корней числителя не принадлежит области определения.

Исключаем a=0, ±3, ±6. Для любого другого действительного a имеются ровно два различных корня числителя, и оба допустимы. Другие корни невозможны, поскольку числитель квадратный. Условие a=0 проверено отдельно: тогда допустим только x=0.

Ответ: a∈ℝ, a∉{−6; −3; 0; 3; 6}.