Задание 36F316 по задачам с параметром

Точки x=π2 из ОДЗ исключаются. Разность квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда
4(2x+a−tg x)=0.
Поэтому нужно найти число решений уравнения a=tg x−2x на [0; π], x≠π2.

Обозначим g(x)=tg x−2x. На каждом из промежутков области определения g′(x)=1cos²x−2. Производная обращается в нуль при x=π4 и x=3π4.

На [0; π2) функция сначала убывает, затем возрастает. Её наименьшее значение равно g(π4)=1−π2, а значения на концах равны g(0)=0 и g(x)→+∞ при x→π2−.

На (π2; π] функция сначала возрастает, затем убывает. Её наибольшее значение равно g(3π4)=−1−3π2; кроме того, g(x)→−∞ при x→π2+ и g(π)=−2π.

Сопоставление числа пересечений прямой y=a с этими двумя ветвями даёт ровно одно пересечение только в случаях a<−2π, a=−1−3π2, a=1−π2 или a>0. В точках a=−2π и a=0 пересечений уже два, поэтому они не входят в ответ.

Ответ: a<−2π; a=−1−3π2; a=1−π2; a>0.