Задание 4762EB по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₂x требует x>0. Знаменатель (y−5)² не равен нулю, поэтому y≠5 и x≠32.

Положим y=log₂x. Допустимые значения: y≠5. Левая часть приводится к y²−9(y−5)².

Вычисления: При y=log₂x последний знаменатель равен y²−(5+10y)+30=(y−5)². Тогда 1+10y−5+16(y−5)²=(y−5)²+10(y−5)+16(y−5)²=y²−9(y−5)².

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Следовательно, y≤−3 или y≥3, но y=5 не входит в допустимые значения.

Ответ: (0; 18] ∪ [8; 32) ∪ (32; ∞).