Задание 33964E по неравенствам

Допустимые значения выводим так: x√5>0 и x1−x>0 дают 0<x<1. На этом промежутке аргумент последнего логарифма положителен: 5x²+1x−2=5x³−2x+1x>0.

Допустимые значения задаются условиями 0<x<1. Аргумент правого логарифма на этом интервале положителен: 5x³−2x+1>0.

Вычисления: Левая часть равна log₂(5x(1−x)), так как 2log₂(x√5)−log₂(x1−x)=log₂(5x(1−x)). Умножаем сравниваемые аргументы на положительное x: 5x²(1−x)≤5x³+1−2x, откуда (2x−1)(5x²−1)≥0.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Имеем log₂A−log₂B≤0, где A=5x(1−x), B=5x²+1x−2. Аргументы положительны, а основание 2>1, поэтому методом рационализации заменяем разность логарифмов на условие A−B≤0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Объединяем логарифмы слева и, пользуясь возрастанием log₂, получаем 5x(1−x)≤5x²+1x−2. После умножения на положительное x: (2x−1)(5x²−1)≥0.

На интервале (0; 1) это даёт (0; 1√5] ∪ [12; 1).

Ответ: (0; 1√5] ∪ [12; 1).