Задание B43678: Неравенства

Допустимые значения выводим так: при t=8⁽ˣ⁻¹⁾>0 знаменатели содержат 8t−1 и 2t−1. Поэтому t≠18, 12, то есть x≠0, 23.

Положим t=8ˣ⁻¹. Тогда t>0, t≠18, t≠12. После переноса всех дробей влево получаем (4t−1)²(8t−1)(2t−1)≥0.

Вычисления: При t=8⁽ˣ⁻¹⁾ имеем 8ˣ=8t и 64ˣ=64t². После приведения к общему знаменателю: 2t2t−1−38t−1−2(8t−1)(2t−1)=(4t−1)²(8t−1)(2t−1).

Введённая переменная t всегда положительна. Соответствующая показательная функция возрастает, поэтому порядок положительных критических значений t сохраняется; на последнем шаге каждую границу переводим обратно в значение x.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Числитель неотрицателен и обращается в ноль при t=14. Таблица знаков знаменателя даёт t∈(0; 18) ∪ {14} ∪ (12; ∞).

Ответ: (−∞; 0) ∪ {13} ∪ (23; ∞).