Задание 15664C по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 3x+1>0, x≠0 и 1+124x>0. Последнее условие равносильно 24x+124x>0; в пересечении получаем x∈(−13; −124)∪(0; ∞).

Допустимые значения: x∈(−13; −124) ∪ (0; ∞). Так как основание логарифмов больше 1, сравниваем произведение аргументов с аргументом справа.

Вычисления: Объединяем логарифмы, поскольку все их аргументы положительны. Разность аргументов равна (3x+1)(1+172x²)−(1+124x)=216x³+172x². Числитель 216x³+1=(6x+1)(36x²−6x+1), причём второй множитель положителен.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После объединения имеем log₅A−log₅B≥0, где A=(3x+1)(1+172x²), B=1+124x. Так как A>0, B>0 и 5>1, метод рационализации заменяет это условием A−B≥0; именно его разность вычислена выше.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Разность аргументов после приведения к общему знаменателю имеет знак 216x³+1. Поэтому x≥−16. Пересекаем это с допустимыми значениями.

Ответ: [−16; −124) ∪ (0; ∞).