Задание 3DD135 по задачам с параметром

ОДЗ: x+2a>0.

Используем разность квадратов:
(2x+ln(x+2a))²−(2x−ln(x+2a))²=8x·ln(x+2a)=0.

Корень x=0 существует тогда и только тогда, когда 2a>0, то есть a>0.

Другой случай: ln(x+2a)=0. Тогда x+2a=1, откуда x=1−2a. Эта точка принадлежит отрезку [0; 1] тогда и только тогда, когда 0≤a≤12.

При a<0 корней нет. При a=0 существует только x=1. При 0<a<12 получаются два разных корня. При a=12 оба случая дают x=0. При a>12 остаётся только x=0.

Ответ: a=0 или a≥12.