Задание 517890: Неравенства

Допустимые значения выводим так: аргумент log₂(x²−9) положителен, поэтому x²−9>0, то есть x<−3 или x>3.

Положим y=log₂(x²−9). Допустимые значения: |x|>3. Получаем (y−4)(y−5)≥0.

Вычисления: Положим y=log₂(x²−9). Тогда y²−9y+20=(y−4)(y−5). Поэтому y≤4 или y≥5, то есть 0<x²−9≤16 или x²−9≥32.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Следовательно, 0<x²−9≤16 или x²−9≥32. Решаем эти условия для x.

Ответ: (−∞; −√41] ∪ [−5; −3) ∪ (3; 5] ∪ [√41; ∞).