Задание 55862F по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₂x определён при x>0. Знаменатели содержат y=log₂x, поэтому y≠0 и x≠1.

Положим y=log₂x, y≠0. После упрощения получаем (y−5)(y+3)y≤0.

Вычисления: При y=log₂x: log₂(4x)=2−y и log₂(x²)=2y. Поэтому 4y−(2−y)−19y=y²−2y−15y=(y−5)(y+3)y.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Метод интервалов даёт y≤−3 или 0<y≤5.

Ответ: (0; 18] ∪ (1; 32].