Задание 45927B: Задачи с параметром

Второе уравнение перепишем как (x−1)(x−y)=0. Поэтому каждое решение лежит либо на прямой x=1, либо на прямой y=x. Прямые имеют единственную общую точку (1; 1).

На x=1 первое уравнение превращается в ay²+2ay−a+6=0. На y=x оно превращается в 2ax²+5x+1=0. Если a=0, первая ветвь решений не даёт, а вторая даёт лишь одну пару. Поэтому далее a≠0.

Каждая ветвь даёт не более двух решений. Чтобы всего было четыре, оба квадратных уравнения должны иметь по два различных корня: D₁=8a(a−3)>0 и D₂=25−8a>0. Первое условие означает a<0 или a>3, второе — a<258. Их пересечение: a<0 или 3<a<258.

Нужно исключить двойной подсчёт (1; 1). Подстановка этой точки в первое исходное уравнение даёт 2a+6=0, то есть a=−3. При a=−3 обе ветви имеют по два корня, но один общий, поэтому разных решений три.

При остальных найденных значениях получаются две пары на каждой прямой, общих пар нет. Равенства D₁=0 или D₂=0 не подходят: касание даёт лишь один корень соответствующей ветви.

Ответ: a∈(−∞; −3)∪(−3; 0)∪(3; 258).