60FD4D — задание ЕГЭ профиль: уравнения, ответ и решение

Дайте развернутый ответ.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1 000 000 рублей
на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$ -й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$—$ 15-го числа $n$ -го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

$—$ к 15-му числу $(n + 1)$ -го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$ , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Решение задания 60FD4D

Ответ: 3%

Модель кредита
Все суммы считаем в тысячах рублей, если в условии не сказано иначе. Пусть D₀ — долг в день выдачи, а Dᵢ — долг 15-го числа после i-го платежа. При месячном коэффициенте роста q=1+r100 перед i-м платежом долг равен qDᵢ₋₁, поэтому Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ. При полном погашении последний остаток равен нулю.

Суммирование этих равенств показывает: общая сумма выплат состоит из первоначального долга и процентов, начисленных на все остатки перед очередным первым числом месяца. Поэтому для равномерно уменьшающихся долгов используется сумма арифметической прогрессии. Ниже сначала определяем сами остатки, затем сумму процентов и только после этого искомую величину.

Если долг ежемесячно уменьшается на d, то Dᵢ=D₀−id. Сумма остатков перед одинаковыми начислениями процентов — сумма соответствующих членов этой арифметической прогрессии. Это объясняет формулы вида «первый плюс последний, умноженные на число членов и делённые на два» в расчёте.

Расчёт
Все суммы считаем в тысячах рублей. Из 1000−40n=200 получаем n=20. Сумма долгов перед начислениями процентов равна (1000+200)·212=12600.

Общая сумма выплат: 1000+r100·12600=1378. Отсюда r100=0,03.

Ответ: 3%.

Проверка
Подстановка найденной величины в последовательность остатков даёт указанный в условии долг 15-го числа и нулевой остаток в последний месяц. Платежи считаются после начисления процентов, поэтому проценты начислены ровно на те остатки, которые были в начале каждого месяца.

КЭС:	1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения 3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Тип ответа:	Развернутый ответ

Задание 60FD4D по уравнениям

Решение задания 60FD4D

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению