Задание FE9D85 по уравнениям

Модель кредита
Все суммы считаем в тех единицах, которые указаны в условии. Пусть D₀ — долг сразу после выдачи кредита, а Dᵢ — долг сразу после i-го ежегодного платежа. Если годовой коэффициент роста равен q=1+r100, то перед i-м платежом долг равен qDᵢ₋₁. Поэтому платёж этого года равен Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ. Последний остаток при полном погашении равен нулю.

Если по условию ежегодные платежи одинаковы и равны P, сначала перепишем переход как Dᵢ=qDᵢ₋₁−P. Применяем его последовательно: D₁=qD₀−P; D₂=qD₁−P=q²D₀−qP−P=q²D₀−P(q+1); D₃=qD₂−P=q³D₀−P(q²+q+1). Видно правило: после n-го платежа Dₙ=qⁿD₀−P(qⁿ⁻¹+…+q+1)=qⁿD₀−P(1+q+…+qⁿ⁻¹). Его также можно строго подтвердить индукцией. При полном погашении Dₙ=0.

Суммирование равенств Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ нужно для другой цели — для общей суммы выплат. Оно не выводит формулу для Dₙ: эту формулу даёт именно последовательная подстановка выше. Если платежи или остатки заданы иначе, тот же переход Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ применяем по годам по отдельности.

Расчёт
Пусть каждый из четырёх платежей равен A, q=1,2. При полном погашении 419375=A·1−q⁻⁴q−1.

Отсюда A=162000 рублей. Всего банку будет выплачено 4·162000=648000 рублей.

Ответ: 648 000.

Проверка
Подстановка найденной величины в последовательность ежегодных остатков даёт все значения долга из условия и нулевой остаток в последний год. Для задачи с ограничением на платежи или ставку отдельно выполнено строгое неравенство и учтено требование целочисленности, если оно есть.