Задание 89F37B по неравенствам

Модель вложения
Если бумаги проданы в конце k-го года, то до конца срока N лет на банковском счёте будет Aₖ=k²qᴺ⁻ᵏ тысяч рублей, где q — годовой коэффициент роста вклада. Чтобы найти максимум, достаточно сравнить соседние значения: Aₖ₊₁Aₖ=(k+1)²k²q. Множитель (k+1)²k² убывает при росте k, поэтому после перехода отношения через единицу последовательность меняется с возрастания на убывание. Это доказывает глобальный, а не только локальный максимум.

Расчёт
При продаже в конце k-го года итоговая сумма Aₖ=k²(1+r)²⁵⁻ᵏ. Для строгого максимума при k=21 нужны A₂₁>A₂₀ и A₂₁>A₂₂.

Из них следуют 1+r<21²20²=441400 и 1+r>22²21²=484441.

Следовательно, 43441<r<41400. Ответ: 43441<r<41400.

Проверка
Отношения соседних сумм посчитаны по одной и той же формуле Aₖ=k²qᴺ⁻ᵏ. Знак отношения до выбранного года и после него различен, а сами отношения убывают. Следовательно, найденный год даёт единственный максимум, а границы для r получены из строгих неравенств.