Задание 7EEB39 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: (x−3)²(x+3)>0 и (x−3)⁴>0. Поэтому x>−3 и x≠3.

Допустимые значения: x>−3, x≠3. Аргумент первого логарифма равен (x−3)²(x+3).

Вычисления: x³−3x²−9x+27=(x−3)²(x+3), а log₀,₂₅((x−3)⁴)=log₀,₅((x−3)²). Так как log₀,₅ убывает, получаем (x−3)²(x+3)≥(x−3)², откуда x+3≥1.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После приведения оснований получаем log₀,₅A−log₀,₅B≤0, где A=(x−3)²(x+3), B=(x−3)². Для основания 0,5<1 рационализация меняет знак: A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Переход к основанию 12 и учёт убывания логарифма дают (x+3)²≥1. На допустимых значениях это равносильно x≥−2.

Ответ: [−2; 3) ∪ (3; ∞).