Задание CB6359: Неравенства

По исходной формуле второй логарифм относится ко всей дроби (x−7)⁷x−6. ОДЗ: (x−6)(x−7)>0 и (x−7)⁷x−6>0. Оба условия выполняются одновременно при x<6 или x>7.

На ОДЗ аргументы логарифмов положительны, поэтому переносим второй логарифм влево и объединяем: log₁₂([(x−6)(x−7)]⁷(x−7)⁷x−6)≤8. Аргумент упрощается до (x−6)⁸. При этом не раскладываем логарифмы на log₁₂(x−6) и log₁₂(x−7): при x<6 оба таких аргумента были бы отрицательны.

Итак, log₁₂((x−6)⁸)≤8. Основание 12 больше 1, поэтому (x−6)⁸≤12⁸, или |x−6|≤12. Получаем −6≤x≤18.

Пересечение с ОДЗ даёт [−6; 6)∪(7; 18]. Точки −6 и 18 допустимы и дают равенство. Точки 6 и 7 исключены из области определения; промежуток между ними также не подходит.

Ответ: x∈[−6; 6)∪(7; 18].