Задание 481BB0: Неравенства

Область допустимых значений задаётся внутренним логарифмом: log₃x>0, то есть x>1. Условие x>0 уже следует из этого ограничения. На ОДЗ выражение 3^{log₃(log₃x)} равно log₃x.

Введём t=log₃x, причём t>0. Поскольку основание второго логарифма равно 9=3², имеем log₉x=t2. Исходное неравенство становится t+t²4−8≤0.

Умножаем на положительное число 4: t²+4t−32≤0. Разложение (t+8)(t−4)≤0 даёт −8≤t≤4. С учётом t>0 остаётся 0<t≤4.

Так как основание 3>1, логарифм строго возрастает: 1<x≤3⁴=81. Правый конец включён — на нём исходное выражение равно нулю. Левый конец x=1 исключён: внутренний логарифм равен нулю, и внешний логарифм не определён.

Ответ: x∈(1; 81].