Задание 4B165E: Задачи с параметром

Сгруппируем члены исходного многочлена: (x²−x)a²−(x⁴−x³−x+1)a−x³+x²=(x−1)[xa²−(x³−1)a−x²]=(x−1)(a−x²)(ax+1). Поэтому корни даются уравнениями x=1, x²=a и ax+1=0.

При a<0 квадратное уравнение действительных корней не имеет. Остаются x=1 и x=−1a. Они различны при a≠−1. При a=−1 остаётся единственный корень x=1, поэтому это значение исключается.

При a=0 уравнение имеет корни x=1 и x=0; множитель ax+1 равен 1. Получены ровно два различных корня, значит, a=0 подходит.

При a>0 уже имеются два различных корня x=±√a. Чтобы вместе с обязательным x=1 их было всего два, число 1 должно совпасть с одним из них. Это возможно только при a=1. Тогда дополнительный линейный корень равен −1, и все корни — −1 и 1. При прочих положительных a корней не меньше трёх.

Все случаи a<0, a=0, a>0 рассмотрены, поэтому найденный набор полный.

Ответ: a∈(−∞; −1)∪(−1; 0]∪{1}.