Целые и дробно-рациональные неравенства — задания ЕГЭ по профильной математике

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{15}^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\ge 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_3\left(9x\right)\cdot {\log }_4\left(64x\right)}{5x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{16}\left(x+5\right)+{\log }_{\left(x^2+10x+25\right)}2\ge \frac{3}{4}.}$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{49}\left(x+4\right)+{\log }_{\left(x^2+8x+16\right)}\sqrt{7}\le -\frac{3}{4}.}$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(8x\right)\cdot {\log }_3\left(27x\right)}{x^2-\left|x\right|}\le 0}$.

Решите неравенство

${\displaystyle \frac{{10}^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50}{5x-x^2-4}\ge 0}$.

Решите неравенство $\frac{2}{3^x+27}\ge \frac{1}{3^x-27}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(3x+1\right)+{\log }_5\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge {\log }_5\left(\frac{1}{24x}+1\right)}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство $\frac{4^x\text{}-3\cdot 2^{x+1}+4}{2^x\text{}-5}+\frac{3\cdot 2^{x+1}-46}{2^x\text{}-8}\le 2^x+5.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\frac{2}{x}+2\right)-{\log }_5\left(x+3\right)\le {\log }_5\left(\frac{x+6}{x^2}\right)}$.

Решите неравенство $\frac{{\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2}{{\log }_6^2\left(2x^2-10x+\mathrm{12,5}\right)+1}\ge 0.$

Решите неравенство ${\displaystyle 2{\log }_2\left(x\sqrt{5}\right)-{\log }_2\left(\frac{x}{1-x}\right)\le {\log }_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2^2\left(25-x^2\right)-7{\log }_2\left(25-x^2\right)+12\ge 0}$.

а) Решите уравнение

$\cos 2x+\sqrt{3}\sin \left(\frac{\text{π}}{2}+x\right)+1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\text{π};-\frac{3\text{π}}{2}\right]$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2\left(4x^2-1\right)-{\log }_{2}x\le {\log }_2\left(5x+\frac{9}{x}-11\right)}$.

Решите неравенство $\frac{8^{x+1}-40}{2\cdot {64}^x-32}\le 1.$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_{8}x}{{\log }_8\left(\frac{x}{64}\right)}\ge \frac{2}{{\log }_{8}x}+\frac{3}{{\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2}}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство $\frac{2\cdot 8^{x-1}}{2\cdot 8^{x-1}-1}\ge \frac{3}{8^x-1}+\frac{8}{{64}^x-5\cdot 8^x+4}.$

Решите неравенство $\frac{13}{3^x-81}\le \frac{1}{3^x-9}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство $\frac{{\log }_2\left(2-x\right)-{\log }_2\left(x+1\right)}{{\log }_2^2{x}^2+{\log }_2{x}^4+1}\ge 0.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_5\left(\left(3-x\right)\left(x^2+2\right)\right)\ge {\log }_5\left(x^2-7x+12\right)+{\log }_5\left(5-x\right)}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{2{\log }_3\left(9x\right)-13}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^4}\le 1}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство $\frac{8^{x+\frac{2}{3}}-9\cdot 4^{x+\frac{1}{2}}+13\cdot 2^x-13}{4^{x+\frac{1}{2}}\text{}-9\cdot 2^x+4}\le 2^{x+1}-\frac{1}{2^x\text{}-2}+\frac{3}{2^{x+1}\text{}-1}.$

Решите неравенство ${\log }_4\left(\left(x-5\right)\left(x^2-2x-15\right)\right)+1\ge \mathrm{0,5}{\log }_2{\left(x-5\right)}^2.$

Решите неравенство $\frac{4}{3^x-27}\ge \frac{1}{3^x-9}$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_2\left(4x^2\right)+35}{{\log }_2^{2}x-36}\ge -1}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство ${\log }_{11}\left(2x^2+1\right)+{\log }_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right).$

Решите неравенство $\frac{4}{{\log }_{2}x}-{\log }_2\left(\frac{4}{x}\right)\le \frac{38}{{\log }_2{x}^2}.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(x^2-16\right)-5{\log }_3\left(x^2-16\right)+6\ge 0}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

а) Решите уравнение

$\cos 2x-\sqrt{2}\cos \left(\frac{3\text{π}}{2}+x\right)-1=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\text{π}}{2};3\text{π}\right]$.

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3\left(27x^6\right)+12}\ge 0}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_3\left(81x\right)}{{\log }_{3}x-4}+\frac{{\log }_{3}x-4}{{\log }_3\left(81x\right)}\ge \frac{24-{\log }_3{x}^8}{{\log }_3^{2}x-16}}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_{11}\left(8x^2+7\right)-{\log }_{11}\left(x^2+x+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right)}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3\left(\left(2-x\right)\left(x^2+5\right)\right)\ge {\log }_3\left(x^2-5x+6\right)+{\log }_3\left(4-x\right)}$.

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{5}{{\log }_{4}x-3}+\frac{6}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4\left(64x^6\right)+12}\ge 0}$.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{25x^2-120x+144}{{\log }_2\left(4^x-8\right)-{\log }_2\left(2^{x+1}\right)}\le 0.}$ 

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_2^2\left(x^2-9\right)-9{\log }_2\left(x^2-9\right)+20\ge 0}$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle 1+\frac{10}{{\log }_{2}x-5}+\frac{16}{{\log }_2^{2}x-{\log }_2\left(32x^{10}\right)+30}\ge 0}$.

Решите неравенство $3^x+\frac{243}{3^x-84}\le 0$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3^2\left(25-x^2\right)-3{\log }_3\left(25-x^2\right)+2\ge 0}$.

Решите неравенство ${11}^x\text{}-6-\frac{24\cdot {11}^x\text{}-244}{{121}^x\text{}-16\cdot {11}^x+60}\le \frac{1}{{11}^x\text{}-10}.$

а) Решите уравнение ${\cos }^{2}x+{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$ 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[5\pi ;6\pi \right].$

Решите неравенство $\left({\log }_{\mathrm{0,25}}^2\left(x+3\right)-{\log }_4\left(x^2+6x+9\right)+1\right)\cdot {\log }_4\left(x+2\right)\le 0.$

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-{\log }_3\left(x+5\right)\ge {\log }_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right)}$.

Решите неравенство ${\log }_{\mathrm{0,5}}\left(x^3-3x^2-9x+27\right)\le {\log }_{\mathrm{0,25}}{\left(x-3\right)}^4.$

Решите неравенство $\frac{1}{3^x+21}+\frac{1}{3^x-27}\ge 0$.

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_5\left(25x\right)}{{\log }_{5}x-2}+\frac{{\log }_{5}x-2}{{\log }_5\left(25x\right)}\ge \frac{6-{\log }_5{x}^4}{{\log }_5^{2}x-4}}$.

Решите неравенство $\frac{3^x+9}{3^x-9}+\frac{3^x-9}{3^x+9}\ge \frac{4\cdot 3^{x+1}+144}{9^x-81}.$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_{2}32x}{{\log }_{2}x-5}+\frac{{\log }_{2}x-5}{{\log }_{2}32x}\ge \frac{{\log }_2{x}^{16}+18}{{\log }_2^{2}x-25}}$.

Решите неравенство $3^x+\frac{243}{3^x-36}\ge 0$.

Решите неравенство .

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_4\left(16x^4\right)+11}{{\log }_4^{2}x-9}\ge -1}$.

Решите неравенство ${\displaystyle {\log }_7\left(2x^2+12\right)-{\log }_7\left(x^2-x+12\right)\ge {\log }_7\left(2-\frac{1}{x}\right)}$.

Решите неравенство ${\log }_8\left(x^3-3x^2+3x-1\right)\ge {\log }_2\left(x^2-1\right)-5.$

Решите неравенство ${\displaystyle \frac{{\log }_4\left(64x\right)}{{\log }_{4}x-3}+\frac{{\log }_{4}x-3}{{\log }_4\left(64x\right)}\ge \frac{{\log }_4{x}^4+16}{{\log }_4^{2}x-9}}$.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4+y^2=a^2,\\ x^2+y=\left|2a-4\right|\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-4\left(a+1\right)x-2ay+5a^2+8a+3=\mathrm{0,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2-\left(2a-5\right)x+2ay+1=\mathrm{0,}\\ x^2+y=xy+x\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\left(x+ay-5\right)\left(x+ay-5a\right)=\mathrm{0,}\\ x^2+y^2=16\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}y=\left(a+2\right)x^2+2ax+a-\mathrm{2,}\\ y^2=x^2\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a{x}^2+a{y}^2+2ax+\left(a+2\right)y+1=\mathrm{0,}\\ xy+1=x+y\end{array}}$

имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения ${\displaystyle a}$, при каждом из которых система уравнений

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}^4-y^4=12a-\mathrm{28,}\\ x^2+y^2=a\end{array}}$