Числа и их свойства — ЕГЭ по математике, профильный уровень

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

В школах ${\displaystyle №}$1 и ${\displaystyle №}$2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали
по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы ${\displaystyle №}$1 в школу ${\displaystyle №}$2,
а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырос на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 равняться 1?

в) Средний балл в школе ${\displaystyle №}$1 вырос на 10%, средний балл в школе ${\displaystyle №}$2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе ${\displaystyle №}$2.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй $—$ 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $—$ 89,
а в третьей $—$ 15?

б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень?

в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел
из записанных является целым числом.

а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n,$ большего 1. Найдите наименьшее возможное
значение $n.$

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли $N$ быть равным 200?

б) Может ли $N$ быть равным 109?

в) Найдите наибольшее значение $N.$

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на 60 больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй $—$ 102, в третьей $—$ 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй $—$ 102, в третьей $—$ 103, а в четвёртой $—$ 4?

б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36.$

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?

б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S.$

а) Может ли $S$ быть равной $16\frac{5}{6}$?

б) Может ли $S$ быть равной $569\frac{29}{126}$?

в) Найдите наибольшее целое значение $S,$ если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle —}$ шестое по величине число, а ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle —}$ среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения ${\displaystyle S-B}$.