Задание 696D47 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₂(x²) и log₃(x²) требуют x≠0. Аргумент log₆(2x²−10x+12,5)=log₆(2(x−52)²) определён только при x≠52.

Допустимые значения: x≠0, x≠52. Знаменатель положителен, так как это квадрат логарифма плюс 1.

Вычисления: Знаменатель положителен. Числитель равен ln(x²)(1ln2−1ln3). Поскольку ln3>ln2>0, коэффициент в скобках положителен; остаётся ln(x²)≥0, то есть x²≥1.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Числитель равен log₂(x²)−log₃(x²). Коэффициент при ln(x²) положителен, поэтому числитель неотрицателен тогда и только тогда, когда x²≥1.

Ответ: (−∞; −1] ∪ [1; 52) ∪ (52; ∞).