Задание 1EF816 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: x+5>0 для обоих логарифмов. Основание (x+5)² должно отличаться от 1; при x>−5 это исключает только x=−4.

Положим y=log₂(x+5). Допустимые значения: x>−5 и x≠−4. Тогда неравенство принимает вид y14+12y≥34.

Вычисления: При y=log₂(x+5) имеем log₁₆(x+5)=y4 и log₍(x+5)²₎2=12y. Поэтому y4+12y−34=y²−3y+24y=(y−1)(y−2)4y.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

После переноса получаем (y−1)(y−2)4y≥0. По методу интервалов y∈(0; 1] ∪ [2; ∞). Возвращаясь к x, получаем требуемые промежутки.

Ответ: (−4; −3] ∪ [−1; ∞).