Задание BAB6D0 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент log₃(x²−16) положителен: x²−16>0, то есть x<−4 или x>4.

Положим y=log₃(x²−16). Допустимые значения: |x|>4. Получаем (y−2)(y−3)≥0.

Вычисления: Положим y=log₃(x²−16). Тогда y²−5y+6=(y−2)(y−3), откуда y≤2 или y≥3. Значит, 0<x²−16≤9 или x²−16≥27.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Значит, 0<x²−16≤9 или x²−16≥27. Решаем оба условия для x.

Ответ: (−∞; −√43] ∪ [−5; −4) ∪ (4; 5] ∪ [√43; ∞).