Задание FD16D2: Задачи с параметром

В исходном выражении x³−2x²+3x−2=(x−1)(x²−x+2), а −x⁴+3x³−2x²=−x²(x−1)(x−2). Поэтому всё выражение равно (x−1)[a²−(x²−x+2)a−x²(x−2)]=(x−1)(a−x²)(a+x−2).

Возможные корни: x=1, x=2−a и x²=a. При a<0 квадратное уравнение корней не даёт, а линейные корни различны, поскольку 2−a>2. Таким образом, все a<0 подходят.

При a=0 корни 0, 1 и 2 различны, поэтому это значение исключаем.

При a>0 есть два различных корня ±√a. Чтобы число 1 не стало третьим, необходимо a=1. Тогда корень x=2−a тоже равен 1, а полный набор состоит из −1 и 1. При остальных a>0 корней не меньше трёх.

Ответ: a∈(−∞; 0)∪{1}.