ЕГЭ и ОГЭФИПИ · понять и решить
Начать подготовку
Меню

Задание F37F75: Числа и их свойства

Открытый банк ФИПИ · условие и решение задания

Открыть решение ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 3, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −36.

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?

б) Может ли на столе лежать ровно 50 синих карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: F37F75
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания F37F75

Ответ: а) да; б) нет; в) 27

Пусть B — число синих карточек, а R — число красных. Максимальное красное число равно 2B и должно быть чётным, а максимальное синее число равно R и должно делиться на 3. Числа на карточках строго больше −36.

Синие числа — различные кратные 3 от −33 до R, поэтому их число не превосходит R3+12. Красные числа — различные чётные числа от −34 до 2B, поэтому их число не превосходит B+18. Так как карточек ровно B и R, получаем B≤R3+12 и R≤B+18. Первое неравенство даёт R≥3B−36, а вместе со вторым — 3B−36≤B+18, то есть B≤27.

а) При B=1 и R=3 можно выбрать допустимые наборы карточек, значит, одна синяя карточка возможна. б) B=50 противоречит доказанной оценке B≤27. в) При B=27 и R=45 обе оценки достигаются: синие кратные 3 от −33 до 45, красные чётные от −34 до 54. Поэтому максимум равен 27. Ответ: а) да; б) нет; в) 27.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании F37F75.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.