Задание F7E0EA: Задачи с параметром

После переноса правой части влево получаем x⁴−4x³+8x+3+a(x+1)(x−3)=0. Первые четыре слагаемых равны (x−3)(x+1)(x²−2x−1). Поэтому уравнение равносильно (x−3)(x+1)(x²−2x+a−1)=0.

Два разных корня x=3 и x=−1 есть при любом a. Требуется, чтобы квадратный множитель не добавлял новых корней. Запишем его в виде (x−1)²+a−2.

При a>2 он строго положителен, поэтому остаются ровно два корня −1 и 3. При a=2 он даёт новый корень x=1, то есть всего три различных корня.

При a<2 квадратное уравнение имеет два различных корня 1±√2−a. Оба должны совпасть с уже имеющимися числами −1 и 3. Это равносильно √2−a=2, откуда a=−2. При таком a квадратный множитель действительно равен (x−3)(x+1), и других корней нет.

Ответ: a∈{−2}∪(2; +∞).