FE4FB7 — задание ЕГЭ профиль: уравнения, ответ и решение

Дайте развернутый ответ.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей
на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$—$ 15-го числа 10-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

$—$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r$ , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1021 тысячу рублей.

Решение задания FE4FB7

Ответ: 2%

Модель кредита
Все суммы считаем в тысячах рублей, если в условии не сказано иначе. Пусть D₀ — долг в день выдачи, а Dᵢ — долг 15-го числа после i-го платежа. При месячном коэффициенте роста q=1+r100 перед i-м платежом долг равен qDᵢ₋₁, поэтому Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ. При полном погашении последний остаток равен нулю.

Суммирование этих равенств показывает: общая сумма выплат состоит из первоначального долга и процентов, начисленных на все остатки перед очередным первым числом месяца. Поэтому для равномерно уменьшающихся долгов используется сумма арифметической прогрессии. Ниже сначала определяем сами остатки, затем сумму процентов и только после этого искомую величину.

Если долг ежемесячно уменьшается на d, то Dᵢ=D₀−id. Сумма остатков перед одинаковыми начислениями процентов — сумма соответствующих членов этой арифметической прогрессии. Это объясняет формулы вида «первый плюс последний, умноженные на число членов и делённые на два» в расчёте.

Расчёт
Все суммы считаем в тысячах рублей. Долг уменьшается от 900 до 200 за десять равных шагов. Сумма долгов перед начислениями процентов равна 11(900+200)2=6050.

900+r100·6050=1021, поэтому r100=0,02.

Ответ: 2%.

Проверка
Подстановка найденной величины в последовательность остатков даёт указанный в условии долг 15-го числа и нулевой остаток в последний месяц. Платежи считаются после начисления процентов, поэтому проценты начислены ровно на те остатки, которые были в начале каждого месяца.

КЭС:	1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения 3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Тип ответа:	Развернутый ответ

Задание FE4FB7 по уравнениям

Решение задания FE4FB7

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению