Задание 005232 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₀,₂₅(x+3), log₄((x+3)²) и log₄(x+2) определены одновременно при x>−2.

Допустимые значения: x>−2. Положим y=log₄(x+3). Первый множитель равен y²−2y+1=(y−1)² и неотрицателен.

Вычисления: Положим y=log₄(x+3). Тогда log₀,₂₅(x+3)=−y, а log₄((x+3)²)=2y. Первый множитель равен y²−2y+1=(y−1)², поэтому произведение имеет вид (y−1)²log₄(x+2)≤0.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Для случая, когда квадратный множитель не равен нулю, нужно log₄(x+2)≤0, то есть log₄(x+2)−log₄1≤0. Рационализация при основании 4>1 даёт x+2−1≤0.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Произведение неположительно, если log₄(x+2)≤0, либо первый множитель равен нулю. Это даёт −2<x≤−1 или x=1.

Ответ: (−2; −1] ∪ {1}.