B4B56D — задание ЕГЭ профиль: уравнения, ответ и решение

Дайте развернутый ответ.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$—$ к 15-му числу 31-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 30-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

Решение задания B4B56D

Ответ: 200 000

Модель кредита
Все суммы считаем в тысячах рублей, если в условии не сказано иначе. Пусть D₀ — долг в день выдачи, а Dᵢ — долг 15-го числа после i-го платежа. При месячном коэффициенте роста q=1+r100 перед i-м платежом долг равен qDᵢ₋₁, поэтому Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ. При полном погашении последний остаток равен нулю.

Суммирование этих равенств показывает: общая сумма выплат состоит из первоначального долга и процентов, начисленных на все остатки перед очередным первым числом месяца. Поэтому для равномерно уменьшающихся долгов используется сумма арифметической прогрессии. Ниже сначала определяем сами остатки, затем сумму процентов и только после этого искомую величину.

Если долг ежемесячно уменьшается на d, то Dᵢ=D₀−id. Сумма остатков перед одинаковыми начислениями процентов — сумма соответствующих членов этой арифметической прогрессии. Это объясняет формулы вида «первый плюс последний, умноженные на число членов и делённые на два» в расчёте.

Расчёт
Все суммы считаем в тысячах рублей. Пусть ежемесячное уменьшение долга равно d. Сумма долгов перед начислениями: 31·1100−d·30·312=34100−465d.

1100+0,02(34100−465d)=1503, откуда d=30. Долг на 15-е число 30-го месяца равен 1100−30·30=200.

Ответ: 200 000.

Проверка
Подстановка найденной величины в последовательность остатков даёт указанный в условии долг 15-го числа и нулевой остаток в последний месяц. Платежи считаются после начисления процентов, поэтому проценты начислены ровно на те остатки, которые были в начале каждого месяца.

КЭС:	1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения 3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Тип ответа:	Развернутый ответ

Задание B4B56D по уравнениям

Решение задания B4B56D

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению