DB5D8C — задание ЕГЭ профиль: уравнения, ответ и решение

Дайте развернутый ответ.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

$—$ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

$—$ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

$—$ 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

$—$ к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

Решение задания DB5D8C

Ответ: 200 000

Модель кредита
Все суммы считаем в тысячах рублей, если в условии не сказано иначе. Пусть D₀ — долг в день выдачи, а Dᵢ — долг 15-го числа после i-го платежа. При месячном коэффициенте роста q=1+r100 перед i-м платежом долг равен qDᵢ₋₁, поэтому Pᵢ=qDᵢ₋₁−Dᵢ. При полном погашении последний остаток равен нулю.

Суммирование этих равенств показывает: общая сумма выплат состоит из первоначального долга и процентов, начисленных на все остатки перед очередным первым числом месяца. Поэтому для равномерно уменьшающихся долгов используется сумма арифметической прогрессии. Ниже сначала определяем сами остатки, затем сумму процентов и только после этого искомую величину.

Если долг ежемесячно уменьшается на d, то Dᵢ=D₀−id. Сумма остатков перед одинаковыми начислениями процентов — сумма соответствующих членов этой арифметической прогрессии. Это объясняет формулы вида «первый плюс последний, умноженные на число членов и делённые на два» в расчёте.

Расчёт
Все суммы считаем в тысячах рублей. Пусть первоначальный долг равен S. Сумма долгов перед начислениями равна 11S−80·10·112=11S−4400.

S+0,03(11S−4400)=1198, откуда S=1000. На 15-е число 10-го месяца долг равен 1000−10·80=200.

Ответ: 200 000.

Проверка
Подстановка найденной величины в последовательность остатков даёт указанный в условии долг 15-го числа и нулевой остаток в последний месяц. Платежи считаются после начисления процентов, поэтому проценты начислены ровно на те остатки, которые были в начале каждого месяца.

КЭС:	1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения 3.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов
Тип ответа:	Развернутый ответ

Задание DB5D8C по уравнениям

Решение задания DB5D8C

Помочь улучшить сайт

Комментарии к решению