Задание 162563: Задачи с параметром

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Числитель раскладывается: 4x²−a²=(2x−a)(2x+a). Его корни x=a2 и x=−a2 различны только при a≠0.

Знаменатель равен (x+3)²−a². Для первого корня он обращается в нуль, если a2+3=a или a2+3=−a. Эти равенства дают соответственно a=6 и a=−2.

Для второго корня запрещены равенства −a2+3=a и −a2+3=−a. Получаем a=2 и a=−6. При этих значениях один из двух корней числителя не принадлежит области определения.

Исключаем a=0, ±2, ±6. Для любого другого действительного a имеются ровно два различных корня числителя, и оба допустимы. Другие корни невозможны, поскольку числитель квадратный. Условие a=0 проверено отдельно: тогда допустим только x=0.

Ответ: a∈ℝ, a∉{−6; −2; 0; 2; 6}.