Задание 553848 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент log₃(4−x) положителен, поэтому 4−x>0 и x<4.

Допустимые значения: x<4. Так как log₂₄₃(4−x)=15log₃(4−x), а x²−8x+16=(4−x)², исходное неравенство равносильно (x²−10)log₃(4−x)≤0.

Вычисления: Используем log₂₄₃(4−x)=15log₃(4−x) и x²−8x+16=(4−x)². После умножения на 5 получаем (x²−10)log₃(4−x)≤0, где x²−10=(x−√10)(x+√10).

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Логарифм положителен при x<3 и отрицателен при 3<x<4. Таблица знаков с корнями −√10 и √10 даёт два нужных промежутка.

Ответ: [−√10; 3] ∪ [√10; 4).