Задание 2A2B2F по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 1+132x>0 равносильно 32x+132x>0, а 1+x16>0 равносильно x>−16. Вместе получаем x∈(−16; −132)∪(0; ∞).

Допустимые значения: x∈(−16; −132) ∪ (0; ∞). После сравнения аргументов логарифмов разность приводится к виду 64x³+132x.

Вычисления: После объединения левых логарифмов сравниваем аргументы. Их разность: (2x²+1)(1+132x)−(1+x16)=64x³+132x. Числитель 64x³+1=(4x+1)(16x²−4x+1).

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После объединения слева имеем log₁₁A−log₁₁B≥0, где A=(2x²+1)(1+132x), B=1+x16. При положительных аргументах и основании 11>1 рационализация даёт A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Это выражение неотрицательно при x≤−14 или x>0. Пересекаем с допустимыми значениями.

Ответ: (−16; −14] ∪ (0; ∞).