Задание A18442: Неравенства

Допустимые значения выводим так: знаменатель x−1 не равен нулю, поэтому x≠1.

Положим t=2ˣ. Числитель дроби равен t³−8t²+20t−16=(t−2)²(t−4), а знаменатель равен x−1.

Вычисления: При t=2ˣ: 2³ˣ=t³, 2·4⁽ˣ⁺¹⁾=8t² и 5·2⁽ˣ⁺²⁾=20t. Значит, t³−8t²+20t−16=(t−2)²(t−4), а исходная дробь равна (t−2)²(t−4)x−1.

Введённая переменная t всегда положительна. Соответствующая показательная функция возрастает, поэтому порядок положительных критических значений t сохраняется; на последнем шаге каждую границу переводим обратно в значение x.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Точка x=1 исключается. По знакам множителей дробь неотрицательна при x<1 и при x≥2.

Ответ: (−∞; 1) ∪ [2; ∞).