Геометрия — задания ЕГЭ по профильной математике

Все типы задач по математике

Темы и разделы КЭС приведены по открытому банку ФИПИ.

1. Числа и вычисления201

Все задания раздела 201 1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел 83 1.2 Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби 74 1.3 Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени 13 1.4 Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени 8 1.5 Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента 49 1.6 Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы 131.7 Действительные числа. Приближённые вычисления, округление, прикидка и оценка результата 01.8 Преобразование выражений 801.9 Комплексные числа 0

2. Уравнения и неравенства452

Все задания раздела 452 2.1 Целые и дробно-рациональные уравнения 191 2.2 Иррациональные уравнения 27 2.3 Тригонометрические уравнения 65 2.4 Показательные и логарифмические уравнения 76 2.5 Целые и дробно-рациональные неравенства 86 2.6 Иррациональные неравенства 11 2.7 Показательные и логарифмические неравенства 672.8 Тригонометрические неравенства 02.9 Системы и совокупности уравнений и неравенств 31 2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами 642.11 Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы 0

3. Функции и графики114

Все задания раздела 114 3.1 Функция, способы задания функции. График функции 32 3.2 Область определения и множество значений. Нули, монотонность, экстремумы и наибольшее значение функции 9 3.3 Степенная функция и корень n-й степени: свойства и графики 183.4 Тригонометрические функции, их свойства и графики 03.5 Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики 153.6 Точки разрыва. Асимптоты. Свойства функций, непрерывных на отрезке 03.7 Последовательности, способы задания последовательностей 03.8 Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов 45

4. Начала математического анализа125

Все задания раздела 125 4.1 Производная функции. Производные элементарных функций 71 4.2 Применение производной к исследованию функций, нахождению экстремумов и наибольшего значения 1214.3 Первообразная. Интеграл 0

5. Множества и логика0

В банке пока нет заданий5.1 Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера — Венна 05.2 Логика 0

6. Вероятность и статистика110

Все задания раздела 1106.1 Описательная статистика 06.2 Вероятность 1106.3 Комбинаторика 0

7. Геометрия287

Все задания раздела 287 7.1 Фигуры на плоскости 152 7.2 Прямые и плоскости в пространстве 42 7.3 Многогранники 85 7.4 Тела и поверхности вращения 38 7.5 Координаты и векторы 31

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

Впишите правильный ответ.

Дайте развернутый ответ.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ , $B$ и $C$ ,
а на окружности другого основания $—$ точка $C_{1}$ , причём $C C_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а $A C$ $—$ диаметр основания. Известно, что $∠ A C B = 45 °$ , $A B = 2 \sqrt{3}$ , $C C_{1} = 2 \sqrt{6}$ .

а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $B C$ равен $60 °$ .

б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A C_{1}$ .

Дайте развернутый ответ.

В основании пирамиды $S A B C D$ лежит трапеция $A B C D$ с бо $�$ ьшим основанием $A D .$ Диагонали трапеции пересекаются в точке $O .$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины боковых сторон $A B$ и $C D$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $S O .$

а) Докажите, что сечение пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α$ является трапецией.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $S A B C D$ плоскостью $α$ , если $A D = 10,$ $B C = 8,$ $S O = 8,$ а прямая $S O$ перпендикулярна прямой $A D .$

Дайте развернутый ответ.

В основании прямой призмы $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ лежит параллелограмм $A B C D$
с углом $60 °$ при вершине $A .$ На рёбрах $A_{1} B_{1},$ $B_{1} C_{1}$ и $B C$ отмечены
точки $M,$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $A M K N$ $—$ равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ $—$ середина ребра $A_{1} B_{1} .$

б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_{1} C_{1}$ в отношении $B_{1} K : K C_{1} = 2 : 3.$

Дайте развернутый ответ.

В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ сторона основания $A B$ равна 6,
а боковое ребро $S A$ равно $4 \sqrt{3} .$ Точки $M$ и $N$ $—$ середины рёбер $S A$ и $S B$ соответственно. Плоскость $α$ содержит прямую $M N$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость $α$ делит медиану $C E$ основания в отношении $5 : 1,$ считая от точки $C .$

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $S A B C$ плоскостью $α .$

Дайте развернутый ответ.

В правильной четырёхугольной пирамиде $S A B C D$ через ребро $A B$ провели плоскость $α$ , образующую сечение $A B M N ,$ где точки $M$ и $N$ $—$ точки пересечения плоскости $α$ с боковыми рёбрами $S C$ и $S D$ соответственно. Известно, что $A B = B M = A N = 5 M N .$

а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $S C$ и $S D$ в отношении $1 : 4,$ считая от вершины $S .$

б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $A B C D$ и плоскостью $α .$

Дайте развернутый ответ.

а) Докажите, что угол между прямыми $A C_{1}$ и $B C$ равен $60 °$ .

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Дайте развернутый ответ.

В основании прямой призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный
треугольник $A B C$ с основанием $A B .$ Точка $P$ делит ребро $A B$
в отношении $A P : P B = 1 : 3,$ а точка $Q$ $—$ середина ребра $A_{1} C_{1} .$
Через середину $M$ ребра $B C$ провели плоскость $α,$ перпендикулярную отрезку $P Q .$

а) Докажите, что плоскость $α$ параллельна ребру $A B .$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит отрезок $P Q,$ считая от точки $P,$ если известно, что $A B = A A_{1},$ $A B : B C = 2 : 5.$

Дайте развернутый ответ.

а) Докажите, что плоскость $α$ делит ребро $A C$ пополам.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $α$ делит ребро $A_{1} C_{1},$ считая от точки $A_{1},$ если известно, что $A B = A A_{1},$ $A B : B C = 2 : 5.$

Дайте развернутый ответ.

КЭС:	7.5 Координаты и векторы
Тип ответа:	Краткий ответ

КЭС:	7.5 Координаты и векторы
Тип ответа:	Краткий ответ

КЭС:	7.1 Фигуры на плоскости
Тип ответа:	Краткий ответ

КЭС:	7.3 Многогранники
Тип ответа:	Краткий ответ

КЭС:	7.4 Тела и поверхности вращения
Тип ответа:	Краткий ответ