Задание AA07B4 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: (3−x)(x²+2)>0 требует x<3. Тогда x²−7x+12=(x−3)(x−4)>0 и 5−x>0, так что других ограничений нет.

Допустимые значения: x<3. Объединим логарифмы справа и сравним аргументы, так как основание 5 больше 1.

Вычисления: Правая часть объединяется в log₅((x²−7x+12)(5−x))=log₅((3−x)(4−x)(5−x)). При x<3 сокращаем положительный множитель 3−x и получаем x²+2≥(4−x)(5−x)=x²−9x+20.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После объединения это log₅A−log₅B≥0, где A=(3−x)(x²+2), B=(x²−7x+12)(5−x). Оба аргумента положительны, поэтому при основании 5>1 рационализация даёт A−B≥0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

После сокращения положительного множителя 3−x получаем x²+2≥x²−9x+20, то есть x≥2.

Ответ: [2; 3).