Задание 4E8757: Неравенства

Сначала найдём ОДЗ: аргумент log₃(2ˣ−2) должен быть положительным. Поэтому 2ˣ>2, то есть x>1. На этой области 3^{log₃(2ˣ−2)}=2ˣ−2.

Положим t=2ˣ. Тогда t>2, а 4ˣ=t². Неравенство превращается в t−2+t²−18≤0, то есть t²+t−20≤0. Разложим: (t+5)(t−4)≤0. Отсюда −5≤t≤4.

Пересечение с ОДЗ t>2 даёт 2<t≤4. Поскольку функция 2ˣ возрастает, это равносильно 1<x≤2.

Проверка границ: при x=2 аргумент логарифма равен 2, а исходная левая часть 2+16−18=0, поэтому конец включается. При x=1 аргумент равен нулю, поэтому этот конец исключается независимо от знака преобразованного выражения.

Ответ: x∈(1; 2].