Задание DA4C80 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 2x²+12>0 и x²−x+12>0 всегда. Для третьего аргумента: 2−1x=2x−1x>0, откуда x<0 или x>12.

Допустимые значения: x<0 или x>12. После сравнения аргументов трёх логарифмов получаем (3x−4)(x−3)x≥0.

Вычисления: Объединяем логарифмы и сравниваем аргументы. После приведения к общему положительному знаменателю разность левой и правой частей имеет знак (3x−4)(x−3)x≥0. Критические точки этой дроби: 0, 43 и 3; затем пересекаем результат с допустимыми значениями.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После объединения логарифмов имеем log₇A−log₇B≥0. Аргументы A и B положительны в допустимых значениях, а 7>1, поэтому по методу рационализации знак разности совпадает со знаком A−B.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

По методу интервалов и с учётом допустимых значений остаются два промежутка.

Ответ: (12; 43] ∪ [3; ∞).