Задание 9FE39A по задачам с параметром

ФИПИ · тема 2.10 · развёрнутый ответ · 64 задания Решение опубликовано — перейти к ответу ↓ Ошибка или пожелание
Дайте развернутый ответ.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 2 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 2 и увеличивают цифру в разряде единиц на 2. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?


 

i
СВОЙСТВА ЗАДАНИЯ
КЭС:
1.1 Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
2.10 Уравнения, неравенства и системы с параметрами
Тип ответа:Развернутый ответ
Номер: 9Fe39A
НЕ РЕШЕНО Изменить статус

Решение задания 9FE39A

Ответ: а) Нет. б) Нет. в) 44

Первая операция увеличивает число на 15, вторая уменьшает его на 18.

а) Разность сумм всегда кратна 3, а 128 не кратно 3. Поэтому это невозможно.

б) Если суммы равны, то 15A=18B, где A и B — числа операций первого и второго вида. Значит, A=6k, B=5k, а общее число равно 11k. Оно не может быть равно 25.

в) Для первой операции наименьшее допустимое исходное число — 15, для второй — 30. При A=6k, B=5k сумма исходных чисел не меньше 6k·15+5k·30=240k. Условие суммы меньше 1198 даёт k≤4, поэтому чисел не более 44. Равенство достигается при 24 числах 15 и 20 числах 30: сумма 960, а изменения сумм взаимно компенсируются.

Ответ: а) Нет. б) Нет. в) 44.

Помочь улучшить сайт

Напишите пожелание к сайту или решению либо сообщите о найденной неточности в задании 9FE39A.

Сообщение увидит только команда сайта: на странице оно не публикуется.

Комментарии к решению

Комментарии видны всем посетителям сайта.

Комментариев пока нет. Будьте первым.

Чтобы оставить комментарий, войдите или зарегистрируйтесь.