Задание 6F97FE по неравенствам

Допустимые значения выводим так: знаменатель −x²+2x=x(2−x) не должен обращаться в ноль, поэтому x≠0 и x≠2.

Положим a=3ˣ и b=5ˣ. Числитель дроби раскладывается: ab−3a−5b+15=(a−5)(b−3). Знаменатель равен x(2−x).

Вычисления: 15ˣ=3ˣ·5ˣ=ab, 3⁽ˣ⁺¹⁾=3a и 5⁽ˣ⁺¹⁾=5b. Поэтому 15ˣ−3⁽ˣ⁺¹⁾−5⁽ˣ⁺¹⁾+15=ab−3a−5b+15=(a−5)(b−3), а −x²+2x=x(2−x).

Введённые степени положительны и зависят от одного и того же x. Поэтому после разложения на множители их знаки определяем по соответствующим значениям x, а не рассматриваем a и b как независимые переменные.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Критические точки: 0, log₅3, log₃5 и 2; точки 0 и 2 не входят в допустимые значения. По методу интервалов дробь неотрицательна на (0; log₅3] и [log₃5; 2).

Ответ: (0; log₅3] ∪ [log₃5; 2).