Задание 259766 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: при t=11ˣ>0 знаменатели содержат t−6 и t−10. Поэтому t≠6,10, то есть x≠log₁₁6 и x≠log₁₁10.

Положим t=11ˣ. Допустимые значения: t>0, t≠6, t≠10. После упрощения неравенство принимает вид (t−11)(t−1)t−6≤0.

Вычисления: Положим t=11ˣ. Так как t²−16t+60=(t−6)(t−10), после общего знаменателя числитель равен (t−6)²(t−10)−(24t−244)−(t−6)=(t−10)(t−11)(t−1). Сокращаем t−10, сохраняя t≠10.

Введённая переменная t всегда положительна. Соответствующая показательная функция возрастает, поэтому порядок положительных критических значений t сохраняется; на последнем шаге каждую границу переводим обратно в значение x.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

По методу интервалов t∈(0; 1] ∪ (6; 10) ∪ (10; 11].

Ответ: (−∞; 0] ∪ (log₁₁6; log₁₁10) ∪ (log₁₁10; 1].