Задание 09B4F9 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: аргумент log₂(25−x²) должен быть положительным: 25−x²>0, то есть −5<x<5.

Положим y=log₂(25−x²). Допустимые значения: −5<x<5. Получаем (y−3)(y−4)≥0.

Вычисления: Положим y=log₂(25−x²). Тогда y²−7y+12=(y−3)(y−4), поэтому y≤3 или y≥4. Возвращаясь к аргументу логарифма, получаем 0<25−x²≤8 или 25−x²≥16.

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Следовательно, 25−x²≤8 или 25−x²≥16. Решая эти два неравенства с учётом допустимых значений, получаем ответ.

Ответ: (−5; −√17] ∪ [−3; 3] ∪ [√17; 5).