Задание 9D2941: Неравенства

Допустимые значения выводим так: t=2ˣ>0; знаменатели t−5 и t−8 не равны нулю, поэтому x≠log₂5 и x≠3.

Положим t=2ˣ. После переноса правой части влево и сокращения получаем t−2(t−5)(t−8)≤0. Допустимые значения: t>0, t≠5, t≠8.

Вычисления: После переноса правой части к левой получаем (t²−6t+4)(t−8)+(6t−46)(t−5)−(t+5)(t−5)(t−8)(t−5)(t−8)=t−2(t−5)(t−8).

Введённая переменная t всегда положительна. Соответствующая показательная функция возрастает, поэтому порядок положительных критических значений t сохраняется; на последнем шаге каждую границу переводим обратно в значение x.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

По методу интервалов t∈(0; 2] ∪ (5; 8). Переход от t к x сохраняет порядок.

Ответ: (−∞; 1] ∪ (log₂5; 3).