Задание BF9904 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: из x>0 и 4x²−1>0 следует x>12. При таких x выражение 5x+9x−11=5x²−11x+9x положительно, поскольку дискриминант числителя отрицателен.

Допустимые значения: x>12. После объединения логарифмов сравниваем положительные аргументы: 4x²−1≤5x²−11x+9.

Вычисления: Объединяем левую часть: log₂(4x²−1x)≤log₂(5x+9x−11). Умножение на положительное x даёт 4x²−1≤5x²−11x+9, или (x−1)(x−10)≥0.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Разность log₂A−log₂B≤0, где A=4x²−1x, B=5x+9x−11. При положительных A и B рационализация для основания 2>1 даёт A−B≤0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Это равносильно (x−1)(x−10)≥0. С учётом допустимых значений получаем ответ.

Ответ: (12; 1] ∪ [10; ∞).