Задание E0F447 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: 2x+2=2(x+1)x>0, x+3>0 и x+6x²>0. Их пересечение равно (−3; −1)∪(0; ∞).

Допустимые значения: x∈(−3; −1) ∪ (0; ∞). Основание 5 больше 1, поэтому после объединения логарифмов можно сравнить их аргументы.

Вычисления: Объединяем левую часть: log₅(2(x+1)x(x+3))≤log₅(x+6x²). В допустимых значениях x²(x+3)>0, поэтому 2x(x+1)≤(x+6)(x+3), то есть (x−9)(x+2)≤0.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. Получена разность log₅A−log₅B≤0, где A=2(x+1)x(x+3), B=x+6x². При A,B>0 и основании 5>1 рационализация даёт равносильное A−B≤0.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

После приведения к общему положительному знаменателю получается условие (x−9)(x+2)≤0. Пересекаем его с допустимыми значениями.

Ответ: [−2; −1) ∪ (0; 9].