Задание 3991B7 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: (x−5)(x²−2x−15)=(x−5)²(x+3)>0. Значит, x>−3 и x≠5; те же условия обеспечивают определённость второго логарифма.

Допустимые значения: x>−3, x≠5. Раскроем произведение под первым логарифмом: (x−5)(x²−2x−15)=(x−5)²(x+3).

Вычисления: (x−5)(x²−2x−15)=(x−5)²(x+3). Умножаем неравенство на 2: log₂((x−5)²(x+3))+2≥log₂((x−5)²). После сокращения общего логарифма получаем log₂(x+3)≥−2.

Метод рационализации — разность логарифмов: при A>0, B>0, a>0 и a≠1 выполняется (logₐA−logₐB)(A−B)(a−1)≥0. Поэтому при a>1 знак разности логарифмов совпадает со знаком A−B, а при 0<a<1 — противоположен ему. После сокращения получаем log₂(x+3)−log₂14≥0. Метод рационализации при основании 2>1 даёт x+3−14≥0, откуда x≥−114.

Все умножения, сокращения и сравнения аргументов выполняем только с положительными выражениями из допустимых значений. Поэтому направление исходного неравенства при переходе к полученной алгебраической записи не меняется.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

После сокращения одинаковых логарифмических слагаемых остаётся log₂(x+3)≥−2. Значит, x≥−114.

Ответ: [−114; 5) ∪ (5; ∞).