Задание 1AE932 по неравенствам

Допустимые значения выводим так: log₅x требует x>0. Знаменатели содержат y−2 и y+2, поэтому y≠2,−2, то есть x≠25 и x≠125.

Положим y=log₅x. Допустимые значения: y≠−2, y≠2. После переноса правой части влево получаем 2(y+1)²(y−2)(y+2)≥0.

Вычисления: При y=log₅x имеем log₅(25x)=y+2 и log₅(x⁴)=4y. Числитель после общего знаменателя: (y+2)²+(y−2)²−(6−4y)=2(y+1)².

Замена y сводит логарифмическое неравенство к обычному рациональному или квадратному. После решения неравенства для y возвращаемся к x по определению логарифма и обязательно пересекаем полученное множество с допустимыми значениями.

В таблице знаков отмечаем все нули числителя и точки, в которых выражение не определено. На каждом получившемся промежутке знак постоянен, поэтому достаточно определить знак одного множителя или контрольной точки. Нули числителя включаем при нестрогом знаке, а нули знаменателя всегда исключаем.

Подходят y<−2, y>2 и точка y=−1.

Ответ: (0; 125) ∪ {15} ∪ (25; ∞).