Задание 11D603 по задачам с параметром

Положим t=x+4x. При x>0 имеем t≥4, а при x<0 имеем t≤−4. Для |t|>4 каждому значению t соответствуют два значения x, а для t=4 или t=−4 — одно.

Исходное уравнение принимает вид
at²+2t−25a+10=0.

Если a=0, то t=−5, а это значение даёт ровно два корня x.

Пусть a≠0. Многочлен раскладывается так:
(t+5)(at−5a+2)=0.
Первый корень t₁=−5 всегда даёт ровно два значения x. Второй корень равен t₂=5−2a. Чтобы число корней не изменилось, он должен либо не принадлежать области значений t, либо совпадать с t₁.

Условие −4<t₂<4 равносильно 29<a<2. Совпадение t₂=−5 даёт a=15. При t₂=−4 или t₂=4 появился бы ещё один корень, поэтому концы промежутка не входят в ответ.

Ответ: a=0; a=15; 29<a<2.